lunes, 5 de septiembre de 2016

LÓGICA EN PENSAMIENTO ANDINO ANTIGUO

LÓGICA EN PENSAMIENTO ANDINO ANTIGUO
(Continuación)
Gustavo Flores Quelopana
Sociedad Peruana de Filosofía
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Es más, antes de volver al punto de la androginia de la deidad andina es necesario referirme al aspecto formal de carácter lógico del complejo esquema metafísico de la teología andina. Y empecemos por constatar que el hombre andino tiene una percepción no binaria, sino una gestalt abarcadora, holística.

Esto se constata sin dificultad en el discurso polifónico y la mirada dual del Inca Garcilaso que registra "frases del lenguaje general del Perú". Por ejemplo, el  filólogo andino Cerrón-Palomino subraya que al traducir la frase quechua ichach manach, Garcilaso escribe "que podría ser que estuviese cerca y podría ser que estuviese lejos" (Historia: III, XII). Este registro de un mismo elemento en dos sentidos también lo presenta Garcilaso, en los Comentarios, sin preocuparse de incurrir en contradicción alguna. Como cuando habla de una rara piedra de oro encontrada que es al mismo tiempo, bella y horrible (Capítulo XXV del Libro VIII).

Esto quiere decir que la mirada dual, el discurso polifónico y la perspectiva no binaria se relacionan con un tipo de lógica no binaria, muy propia de la racionalidad mítica. De qué clase de lógica se trata, cómo se relaciona con la teoría deductiva clásica, cuáles son sus reglas y leyes, entre otras cosas. Este no es el tema del presente escrito y, por ende, lo que aquí afirme sólo tendrá un alcance limitado.

Por lo pronto, por el manejo libre de los tres principios lógicos clásicos se trata de una lógica modal que admite contradicciones locales, donde se da la consistencia sin la coherencia y la no univocidad entre "necesidad" y "posibilidad". ¿Y esto acaso hace posible el pensamiento deductivo en la ciencia antigua? No. Más bien, es la misma estructura dual de la razón humana –mítica y conceptual- la que hace posible que el hombre maneje al mismo tiempo diversas lógicas. 

En otras palabras, no es la lógica formal aristotélica, sino la nueva lógica la que está en mejor pie para dar cuenta de un modo de pensar no binario, donde se admiten las contradicciones locales sin ninguna fatalidad en el discurso. 

Esto no significa poner en pie de igualdad la lógica matemática con las lógicas de las culturas ancestrales o la lógica del mito. De lo que se trata es de advertir que la lógica clásica no es la única verdadera ni privilegiada teoría de la deducción. Ya Lévy Bruhl insiste que el razonamiento mítico coexiste con el razonamiento deductivo en cada hombre y en cada época. Yo añado que la dinámica y hegemonía entre una y otra lógica lo dan factores culturales.

En realidad, lo que las lógicas no téticas han venido a demostrar es que no existe lógica privilegiada, sino que la razón es sumamente versátil y creadora.

Así, para la lógica intuicionista la contradicción es fatal, pero para la lógica minimalista son admisibles las contradicciones locales. Se ha demostrado, también, que los sistemas formales tienen propiedades y teoremas limitativos. El minimalismo admite la consistencia sin coherencia. Godel destacó la indecidibilidad y hoy son admisibles formas de circularidad que resultan ineliminables y su razón de ser es obscura.

De modo que la lógica andina de la armonía de los opuestos enriquece la lógica de la deducción clásica y testimonia que la razón emplea diferentes lógicas en diferentes situaciones y en distintos universos culturales.

No hay unicidad lingüística de las lógicas, sino unicidad teorética. Los aportes de Bochenski (Lógica de la religión, 1967); Dalla (Lógica, 1976) Quine (El sentido de la nueva lógica, 1971); Nebendahl (Sistemas expertos, 1988); Fuchs (Los padres descubren la nueva lógica, 1974); Piscoya (Lógica general, 1997); Herrera (Las cinco esquinas de la razón, 2014), entre otros, inciden en relacionar la actividad racional del ser inteligente a un sistema múltiple de sistemas formales parciales más que a un único sistema formal. Así de versátil y creadora es la razón humana en todos los tiempos.

Por ejemplo, cuando recordamos en la historia de la Conquista del Perú el episodio en que el inca Atahualpa se lleva al oído la Biblia alcanzada por el padre Valverde y al no escuchar nada la arroja al suelo, podemos constatar que las traducciones entre lógicas parecen asimilarse más a las traducciones entre teorías que a las traducciones entre lenguajes.

De modo que los argumentos examinados nos conducen a admitir sin dificultad alguna la diametral diferencia entre la lógica formal, la lógica matemática y la lógica ancestral andina. En el discurso mítico hay leyes, reglas, enunciados, significación y comunicación que responden a un tipo de lógica no bivalente, como la modal o la multivalente, y en donde la verificación, por lo general, está basada en la autoridad, lo numinoso, la fe, lo sobrenatural y preternatural. Tanto así, que incluso la propia ciencia ancestral regida por la observación directa y la teoría deductiva se subsume lingüística y metafísicamente a la lógica narrativa mítica. Teórica y metodológicamente la ciencia antigua andina tuvo elementos discontinuos con la razón mítica imperante, pero lo predominante fueron los elementos continuos en lo metafísico y lingüístico.

Muchas veces la presencia de importantes avances matemáticos, arquitectónicos, agrícolas, ingenieriles, científicos y técnicos en las civilizaciones ancestrales han hecho pensar que tenían que estar reñidos con la creencia religiosa y no han faltado quienes han  exagerado el asunto hablando de la “pasión racionalista”. Pero el hecho de que no haya sido así demuestra que la lógica mitocrática hegemonizó sobre la lógica científica del momento, orientando su desarrollo en un sentido sacro.

La valoración de la lógica antigua andina debe ser, por ello, integral. Es decir, debe iluminar tanto la hegemónica lógica no binaria del mito como la lógica deductiva de la ciencia ancestral. Para ello es necesario superar el debate entre la cuestión de la” continuidad” o de la “discontinuidad” respecto al mito. Pues metodológica y teóricamente hay discontinuidad entre la lógica de la ciencia antigua y el mito, pero metafísica y lingüísticamente predominó lo continuo en relación al mito.

Dudo mucho que la ciencia antigua andina haya implicado una disolución de la lógica de la visión mítica del mundo. Esto significa que el paradigma vigente era el horizonte mitocrático y, en consecuencia, los filósofos amautas continuaron creyendo que el método apropiado para conocer las causas segundas de la realidad material de la confusa Pacha era el pensamiento deductivo, pero para afrontar las causas primeras o primeros principios (teqse) era menester echar mano de la lógica no binaria del mito que mantenía el estatus de autoevidente.

Ahora bien, esta dialéctica entre lógicas en el seno del pensamiento mitocrático no se dio violentamente, sino de modo gradual. En especial ocurre cuando se supera la religión de lo numinoso y se avanza hacia el estadio de la religiosidad mitológica y de la religiosidad natural.

De manera que no se trata de traducir al runasimi los temas clásicos de la lógica occidental como ingenuamente cree Mejía (Teqse, 2011:299-323). De lo que se trata es de hacer metalógica para no descontextualizar la dialéctica de la lógica andina antigua.


Lima, Salamanca 06 de Setiembre del 2016

sábado, 3 de septiembre de 2016

INFINITO Y MATEMÁTICAS EN PENSAMIENTO PRECOLOMBINO

INFINITO Y MATEMÁTICAS
EN PENSAMIENTO PRECOLOMBINO
(Continuación)
Gustavo Flores Quelopana
Sociedad Peruana de Filosofía
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Viracocha o Pachacamac pensado como Ordenador en vez de Creador lleva hacia el problema del infinito también en el terreno matemático. Infinito no en cuanto a su poder -dado que no es omnipotente y sí más bien se encuentra con un mundo preexistente-, sino en cuanto a su ordenación vivificadora. Es inevitable pensar el desconcierto que experimentarían los antiguos peruanos ante la revelación de que los números naturales no tienen fin. Es muy probable que ello llevara hacia un misticismo simbólico del número, como sucedió en otras civilizaciones ancestrales. Pero no menos abrumador resultaba advertir que la sucesión interminable de números que podían ser divididos en "pares" de par e impar. La complementariedad de la paridad poseía el mismo misterio de la clasificación en "macho" y "hembra". En otras palabras, al tratar de comprender una totalidad infinita en términos finitos daría lugar a una aritmética numerológica y a una teología de un dualismo paritario y complementario vinculante.

Como vemos, en vez de una respuesta llana tenemos un esquema metafísico de la teología andina sumamente complejo, particular y dinámico, dentro de las religiones ancestrales. Lo cual se complica aún más si tenemos en cuenta la convicción de Milla Villena (Génesis de la cultura andina, 2011: 170-217) sobre la representación ritual del número trascendente "Pi" en la Cruz Cuadrada. Esto equivale a sostener que la Chakana simboliza el dios Wiracocha conjugando sus virtudes óntico-ontológicas y fertilizantes en el mundo con la de representar el número de Dios, la espiral áurea, la razón áurea.

En todo caso, se estaría no sólo ante una deidad providente aunque no creadora, pero sí ante el Matemático Supremo, que ordena el mundo en un sistema operativo legible para los sabios amautas. Milla se esmera en abundar en evidencia arqueoastronómica y paleomatemática para demostrar el conocimiento del número áureo en el antiguo Perú. Lo cual no parece descabellado si consideramos no sólo que eran grandes astrónomos e ingenieros, sino también que el cálculo del valor de “pi” se remonta cinco mil años atrás al antiguo Egipto (3.16049…), Mesopotamia (3.125), referencias bíblicas (3.0), antigüedad clásica (3.1416…), la China (3.14142926), la India (3.14159265259) y los islámicos (3.1416). En 1947 con una calculadora mecánica Ferguson recalculó π con 808 decimales.  Y en la actual época computacional las cifras del cálculo de π se han disparado. Ahora bien, si el número “pi” existió en el Perú antiguo la pregunta es ¿Cómo impactó descubrir un número irracional con una gran cantidad de decimales? ¿Qué significó plantear la idea de lo interminable? ¿Cómo se dedujo y qué valor tuvo? ¿Acaso se obtuvo en la yupana o ábaco andino?

La verdad es que es difícil pensar que π no aparezca entre los antiguos peruanos, tan obsesionados como estaban en el estudio de los astros, puesto que este número surge en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras figuras geométricas relacionadas con la circunferencia, como elipses, esferas, conos y toroides. Efectivamente, en el estudio de los astros está relacionado con la naturaleza del círculo. De cualquier forma, es inevitable pensar que el conocimiento de este número haya hecho pensar en la esencia misma del universo. 

Mil años bastaron a los antiguos griegos para llevar a las matemáticas babilónicas y egipcias a su nivel deductivo. Más de cinco años de desarrollo autónomo andino no justifican necesariamente que muchas cosas hubieran sucedido en el ámbito del cálculo, la aritmética, la geometría y el álgebra. Pero por los vestigios monumentales pétreos, la construcción de enormes canales, el cálculo del año lunar, el calendario, la observación astral,  se puede deducir que por la geometría conocieron los números irracionales, por la aritmética y el álgebra los números negativos y también por el álgebra debieron conocer los números imaginarios. Naturalmente todo este conocimiento sería privativo de los sabios y sacerdotes especialistas. Pero hasta el momento son puras conjeturas. No hay ningún postulado, ninguna fórmula, ningún documento descifrado que permita sostener categóricamente que fue así. 

Es cierto que los antiguos babilónicos permitieron que un número negativo actuara como miembro de una ecuación y Occidente tuvo que esperar hasta que el inglés Harritot (1560-1621) hiciera lo mismo. Y es que los números negativos no se usaron libremente hasta el siglo XVII. Todo lo anterior fueron simples encuentros accidentales con los números negativos y por ello no constituye un descubrimiento matemático. Diofanto los rechazó por absurdo, Brahmagupta en el siglo XVII los rechazó, Cardano los trató de números ficticios, Bombelli y Vieta también lo repudiaron, Fibonacci no admitió las raíces negativas y se supone que los hindúes hicieron lo mismo. En otras palabras, conocer todas las operaciones elementales -como acontece con los antiguos peruanos- da como resultado engendrar nuevos números, como las fracciones y los números negativos, pero ello no significa que exista la tentativa consciente de comprender los números negativos.

Es incuestionable que muchos cronistas testimonian la enorme habilidad calculista de los antiguos peruanos, pero no se sabe a ciencia cierta hasta dónde llegó dicha habilidad matemática, y si de verdad fue una matemática deductiva. Aquí es bueno tener presente que el desciframiento del Papiro de Moscú demostró que la construcción de la pirámide de Egipto fue fruto de intuición matemática en vez de demostración matemática. Y no se puede excluir expeditivamente que en el legado monumental andino ocurriera lo mismo. En realidad, fue el instinto griego para la generalidad lo que le dio naturaleza deductiva a las matemáticas. Y hasta el momento no hay seguridad que lo mismo aconteciera en cinco mil años del pensamiento andino.

No obstante, la tierra peruana es rica en minerales y ello lleva a pensar que los antiguos peruanos llegaron al igual que los griegos a elaborar una geometría sintética. En cinco mil años de historia andina desde Caral, no es difícil pensar que la geometría empírica laborable se convirtiera en geometría deductiva o sea demostrada. Ello se vería facilitado por el conocimiento de los sólidos regulares (por lo menos los primeros tres) que se presentan naturalmente en los minerales comunes que llamarían la atención de cualquier geómetra. El tetraedro en el cobre, el cubo en la sal, y el octaedro en la magnetita. Solamente el dodecaedro y el isocaedro, que tienen ejes quíntuples, no se presentan en la naturaleza.

Salvo un detalle que resulta gigantesco. Y es que una geometría completamente sintética y métrica exigió en Grecia del genio de Euclides y sus Elementos. Pero resta una pregunta inquietante. Si en el antiguo Perú se conocieron los cinco sólidos regulares, o por lo menos tres, por qué no los tallaron en piedras. Se puede argumentar que la chakana es la representación plana del dodecaedro. Incluso el isocaedro también estaría representada planamente en la misma chakana. Es más, se podría ir más allá afirmando que se llegó a conocer la importancia del Número como regulador del Cosmos. No es casual que Pachacamac signifique Ordenador o Vivificador. Quizá su geometría pudo no ser completamente métrica y sintética. Quizá por estos lares andinos jamás existió el método postulacional, que es el verdadero nervio de las matemáticas vivientes. Pero por lo menos se puede suponer que no existió ningún sabio como Platón que convirtiera a la línea recta y al círculo en las Ideas arquetípicas más importantes. 

En comparación con esta geometría de líneas rectas y círculos lo que predomina es una geometría de elipses, parábolas e hipérboles. Justo la matemática aplicada que se derrocha por doquier en monumentos arqueológicos andinos. Aquí nos asalta otra pregunta. ¿Pudo existir alguna mente genial, como Arquímedes, que hiciera progresos en la matemática por el uso de la física? Nunca lo sabremos, pero yo me inclino a pensar que sí. Y mi respuesta es afirmativa por las obras ciclópeas y monumentales que perduran hasta nuestros días. Al respecto, la parte más original que sobresale en la matemática práctica andina es la aplicación de la mecánica a las matemáticas. Con esto no estoy afirmando que en los andes precolombinos tal genio andino tuviera que basar necesariamente su mecánica en postulados, cosa que sí ocurre con el genio griego. Hasta que no se descifre algún quipu, tocapu, yupana, describiendo algún método heurístico matemático no se podrá saber con exactitud la base teórica de sus logros matemáticos.

Sin embargo, no hay que exagerar las proezas matemáticas de los griegos sobre todo cuando se recuerda que se llegó a un callejón sin salida con la geometría sintética de las cónicas y que la matemática de nuestro mundo moderno pudo progresar, tanto en religión como en matemática, cuando volvió a Oriente. Efectivamente, Tales, Pitágoras, Euclides y Apolonio fueron víctimas de desarrollar exclusivamente el método sintético. Pero Babilonia, Egipto y la India demostraron lo fecundo de una matemática de cara al número. Justamente eso fue lo que ocurrió al madurar el álgebra elemental en los siglos XVI y XVII de nuestra era y al introducir métodos analíticos en el siglo XVII. Con ello se rompió con el modo limitado del pensamiento griego que eludía plantearse el problema del infinito. 

Excepto por la demostración nada obligaba a seguir el camino del método sintético en las matemáticas modernas. El Occidente moderno volviendo a la manera de pensar el infinito de Oriente hizo posible una matemática fuera del alcance del pensamiento griego. Muchas veces los descubrimientos son más importantes que la demostración. Así lo demuestra los Principia de Newton. Y aunque su libro es un enorme monumento de geometría sintética griega, no obstante Newton mismo confesó que usó métodos analíticos y de cálculo para lograrlo. Otra cosa es que las matemáticas modernas y las de Oriente nacieran de distinta fuente y motivación. Mientras en Oriente lo infinito trascendente se impone como una verdad axiomática en Occidente moderno lo finito-infinito de lo inmanente desplaza al infinito trascendente al compás de una razón que se vuelve autónoma. 

Pero en matemáticas la modernidad volvió al camino del cálculo de los babilonios. Oriente no temblaba ante la magnitud y la India es la mejor demostración con sus millones de deidades. Toda esta enmarañada red de relaciones es un presagio del infinito matemático. Igualmente la teología egipcia y cristiana con su idea de correspondencia no unívoca entre el todo y las partes estaba mejor preparada para el análisis matemático que la mente griega. Y lo mismo acontece con la visión holística del Camac andino, con la dualidad, relaciones paritarias, complementariedad y lo vinculante (chawpi). La religión precolombina, como los orientales, estaba mejor preparada que los griegos para el desarrollo de la idea de infinito. Otra prueba de ello nos lo dan los cronistas. Su gran capacidad para el cálculo es coincidente con el de los babilonios. Y ello nos hace pensar en un gran desarrollo de la aritmética, el álgebra y la trigonometría. Para saldar las cuentas con los griegos hay que decir que sus matemáticas son objeto de interés histórico y que desde el siglo XVII la matemática se inclinó por el análisis.

Pero se da la oportunidad de hacer una observación más sobre la posibilidad o no de la presencia de matemáticas demostrativas en el Perú antiguo. El método demostrativo, por ejemplo, no era del agrado del genio hindú y su álgebra -a la que dieron un nivel simbólico- fue muy superior al álgebra musulmana. De la misma forma que los hindúes, los antiguos peruanos eran muy diestros en el cálculo como los griegos eran ineptos. Esta deficiencia de la facultad lógica tampoco era exclusiva de los griegos, pues entre los hindúes, Mahavira, en el siglo IX, tropezaba con los números imaginarios y los descartó como inexistentes, y Bhaskara, en el siglo XII, admitió que las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, pero rechazó las negativas. Es decir, en caso que las matemáticas precolombinas no hayan sido demostrativas y se bastaran con el enunciamiento de reglas, ello no sería óbice para un peculiar desarrollo matemático acorde a su propio genio nacional. También es posible que nunca hallemos algún quipu indicando su metodología matemática. Pues puede ocurrir como con los hindúes, quienes consideraron que el significado de lo que hacían era tan evidente que los comentarios sobre metodología eran superfluos.

Otra cuestión inquietante es si las matemáticas andinas fueron autónomas o recibieron influencia de los mayas y aztecas, cuando no de los chinos -para unos el contacto se remonta hasta la remota primera etapa de la cultura pre-inca Chavín y la última etapa de la dinastía Shang, para otros el contacto sería recién en 1421 con la flota del almirante chino Zheng He-. De pasada hay que mencionar que todavía se discute si los chinos influyeron sobre los sumerios o si los hindúes enseñaron a todos ellos. El debate entre la teoría difusionista y la teoría de la espontaneidad todavía prosigue. De cualquier forma si los andinos, como los chinos, sumerios, hindúes, egipcios y árabes, nunca salieron de las matemáticas empíricas no es una gran defecto, sino su mérito correspondiente al nivel cultural. Por lo pronto, los andinos estaban muy por delante de los griegos en pericia calculadora. Lo cual es un indicador de las diferencias y similitudes matemáticas que existieron entre orientales, griegos, andinos, mesoamericanos y modernos. 

Por último, también es posible pensar que la cultura andina durante los incas entraran en una especie de depresión matemática. Todo indica que el aporte de los incas a la civilización andina fue en derecho, gobierno y paz a punta de lanza. El hecho que el imperio del Tawantinsuyu tuviera grandes calculistas no significa necesariamente que las matemáticas andinas estuvieran viviendo una gran época creadora. Lo más probable es que la erudición y creación viniesen de épocas pre-incas. Y esto, al parecer, es tan cierto como reconocer que carece de sentido revivir las matemáticas precolombinas, la trigonometría esférica de los musulmanes, la astronomía de posición y otras antiguallas. Todo esto está más muerto que nunca y no pertenece a la corriente viva de las matemáticas.

Es más, admitir que en el Perú antiguo, al igual que en las civilizaciones orientales, hubo un gran desarrollo del cálculo no significa que la tradición matemática haya dejado de ser dominada por la geometría y la astronomía. Recordemos que el comienzo de las matemáticas modernas se caracteriza por la importancia incomparable del cálculo y sus aplicaciones a la geometría, la astronomía dinámica y la mecánica. Es más, las ecuaciones más importantes de la mecánica, astronomía y de las ciencias físicas, son ecuaciones diferenciales e integrales, producto del cálculo del siglo XVII. En otras palabras, si algo diferencia a la matemática de los antiguos babilonios, egipcios, de los griegos Arquímedes, Euclides, Hiparco, Apolonio, y de los antiguos peruanos, es su espíritu de síntesis, frente al espíritu de análisis de la nueva matemática de Descartes, Galileo, Fermat, Newton, Pascal y Leibniz.

Ahora bien, cómo se condice este espíritu de síntesis de la matemática antigua con la filosofía mitocrática. Justamente el pensar mítico ancestral se caracteriza no por el empleo predominante del concepto lógico identitario sino del concepto imagen del símbolo. El concepto imagen es sintético en vez de analítico y por ello la matemática antigua se corresponde con el pensar mitocrático. En cambio, el filosofar logocrático moderno está asido de espíritu analítico, el mismo que insufla vida al concepto lógico de la experiencia indirecta y del razonamiento deductivo. 

Sin más evidencia es aventurado decir que existió un Pitágoras o un Euclides andino. Y también resulta distorsionante pensar, como lo hace Milla siguiendo a Reinaga (El pensamiento indio, 2011: 52), que el pensamiento andino surge de la ciencia y el pensamiento europeo nace de la mitología y el dogma. No existe tal incompatibilidad entre ciencia y pensamiento mitológico, puesto que la ciencia antigua se basó en la experiencia directa.

Este punto tan importante y que genera tantas confusiones merece una breve acotación. Definida la ciencia como teoría controlada por la observación entonces su origen se remonta a la antigüedad, no a la Edad de Piedra, como cree Gordon Childe, sino desde los egipcios hasta madurar en los griegos, como piensa Julio Sanz (Introducción a la ciencia, 1987). Es un error creer que la ciencia antigua a diferencia de la ciencia moderna era más cualitativa que cuantitativa, más especulativa que experimental-observacional.  La ciencia antigua fue tan cuantitativa, experimental y observacional como la moderna. La diferencia estriba en que la ciencia antigua está basada en la experiencia directa y no indirecta.

Así, concepción científica del mundo antiguo comprendió: 1. La teoría astronómica de las dos esferas sublunar y translunar (kay pacha y janan pacha), 2. La teoría de los cuatro elementos (Camac), 3. La teoría del movimiento (chakana). Estas teorías permitían explicar un sinnúmero de hechos, como el comportamiento del marcador del reloj solar o intihuatana,  la trayectoria del sol sobre el fondo de las estrellas fijas, la posición de las estrellas sobre la esfera terrestre, la caída y velocidad de los cuerpos, etc. Y en tanto que fueron teorías controladas por la observación directa fueron teorías científicas. La salvedad es que la ciencia moderna es teoría controlada por la observación indirecta, lo cual es un paso superior en la descripción aproximada de la realidad.

Por tanto, es impreciso afirmar que el pensamiento andino nace de la ciencia. No, eso no es cierto. El pensamiento antiguo andino vive en la edad del empirismo y el razonamiento deductivo que alumbra, nace de la misma motivación religiosa.

En realidad el horizonte de sentido de las diversas civilizaciones ancestrales (desde Babilonia hasta los Incas) fue lo religioso. Por tanto, se trató de una racionalidad de motivación religiosa. Esto significa que lo religioso se constituye en la megamáquina más ancestral conocida, en el sentido de Mumford (El mito de la máquina, 1967), sobre la cual se edifica la megamáquina del Estado (Egipto, Sumeria, Mayas, Incas). En otras palabras, cuando llamamos a la religión como racionalidad no instrumental nos estamos refiriendo a la asunción espiritual de lo religioso, porque su aspecto institucional conforma la racionalidad instrumental de la misma.

En otras palabras, lo institucional de lo religión transforma al hombre en esclavo de lo religioso, por cierto muy necesaria para inculcar normas morales al pueblo común. Pero ya está presente en su forma pretecnológica la razón instrumental desde las civilizaciones ancestrales. Es decir, si la dialéctica del Iluminismo (Horkheimer y Adorno: Dialéctica de la Ilustración, 1969) acabó reificando a la humanidad, que en un principio estaba destinada para amo, al identificar razón con dominio; la dialéctica de la religión identificó razón con fe y acabó divinizando sólo al monarca más nunca a la humanidad.

De modo que la racionalidad instrumental que encuentra su pináculo en la racionalidad occidental, tiene sus antecedentes pretecnológicos en la racionalidad mítica ancestral.Y esto es importante subrayarlo porque en nuestro medio ha tenido mucho predicamento la errónea concepción romántica de Peña Cabrera (Racionalidad occidental y racionalidad andina. Una comparación, 2005) atribuyendo la racionalidad instrumental sólo a la razón moderna.

Así, de qué ciencia nace el pensamiento andino antiguo. Nace de la ciencia basada en la observación directa, la cual no es incompatible con el hegemónico pensamiento mitológico. Además, las hipótesis metafísicas son indispensables para el pensamiento científico de ayer y de hoy. Lo que ayer se llamó mito hoy son los llamados axiomas indemostrables de las propias inferencias científicas. No sólo la gente común, sino también los científicos admiten inferencias no demostrativas. Ya Russell había insistido que del hecho a la ciencia se necesitan inferencias adicionales a la lógica deductiva. En otras palabras, hasta hoy para pasar del hecho a las ciencias se necesitan las llamadas inferencias no demostrativas.

Ahora, bien, volviendo al punto si con la yupana se puede obtener un número decimal conversé con el conspicuo investigador y decodificador de la yupana, Andrés Chirinos (Quipus del Tahuantinsuyo, 2010), y él me ha confirmado que en la yupana se pueden obtener números naturales, enteros, racionales, decimales y reales. No así los números complejos ni el número imaginario. La cosa es que un número decimal corresponde a un valor situado entre cero y uno, es decir, entre la nada y el ser. Las consecuencias ontológicas, metafísicas y teológico-mitológicas de esta idea resultan de vasto alcance y diversa solución. En el mundo precolombino la idea del Ordenador vivificador (Pachacamac) resultó ser una brillante alternativa para presentar un complejo universo dual, cuatripartito y complementario con sentido.

En realidad, el campo de la matemática andina ancestral es todavía un territorio bastante inexplorado. Por la yupana y por las pétreas megaestructuras arquitectónicas no es difícil deducir que en el Perú precolombino las matemáticas estuvieron presentes por el número y la forma. Por el número comprendió la aritmética, que se comprueba en la yupana, y por la forma abarcó la geometría, que se verifica con las colosales construcciones megalíticas. No estoy seguro de la presencia del álgebra como manejo abstracto de números mayores. Se sabe que los babilonios hicieron álgebra en forma algorítmica y egipcios, griegos y chinos resolvían ecuaciones algebraicas por medio de la geometría. No se sabe con exactitud si los andinos antiguos hicieron álgebra algorítmica o geométrica, ni el grado de sofisticación matemática lograda.

Mejor información existe sobre los mayas y aztecas, por cuyo desciframiento de la escritura pictográfica y jeroglífica se sabe que su aparato matemático se basó en la numeración de base 20 y tenían un símbolo para representar el número cero. Por lo demás, las grandes culturas andinas no estaban al nivel de ciertas tribus primitivas que al no poder contar los números mayores emplean el término “muchos”. Por tanto, debieron tener un símbolo para el cero y lo infinito. De cualquier forma, y si estamos en lo cierto, los antiguos peruanos fueron grandes astrónomos y debieron estar en capacidad de pensar cantidades ilimitadas, infinitas. Una de éstas es el que está representado en el número "pi" (3.141592653589….), conocido por las culturas antiguas como el "número de Dios".

Por lo demás, cuando hablamos de matemáticas no estamos hablando de meros cálculos de agrimensores, sino de demostración deductiva a partir de hipótesis admitidas y claramente establecidas como tales. Todo lo cual no niega la importancia de la intuición, los experimentos y la inducción en la invención matemática. Lo que quiero decir es que la simple presencia de cálculos aritméticos útiles y que se pueden verificar en la práctica no constituyen matemática hasta que no sean deducidos de supuestos explícitos.

En todo caso, dejar de lado el ideal de la estricta deducción lo máximo que demuestra es el desarrollo de las matemáticas aplicadas. Pero aun así, por su elevado nivel astronómico e ingenieril no pienso que la matemática prehispánica haya surgido del mero empirismo práctico dejando de lado la necesidad de la demostración. Si esto fue así, entonces cabe preguntarse si las matemáticas en la antigüedad andina era un secreto celosamente guardado como en Babilonia y Egipto o si no era nada oculto como en los griegos. Por lo menos, el carácter teocrático de los grandes imperios andinos hace pensar que reservaba el cultivo de las matemáticas para su casta sacerdotal.

En otras palabras, la ciencia antigua precolombina basándose en la experiencia directa hizo uso del razonamiento deductivo. Entonces, hubo de haber un momento cultural en que se distinguió por primera vez en el mundo precolombino entre la inducción del cúmulo de experiencias y la demostración deductiva. Y hay razones para creer que dicha distinción a favor de la necesidad de la demostración deductiva maduró en Tiahuanaco, como puede verse en el complejo monumental Puma Punku o Puerta del Puma, aunque sea difícil descartar un antecedente más remoto. Pues se obtiene una medición útil y consistente de los rectángulos cuando la regla “largo por ancho” se deduce de los postulados tomados en un nivel de experiencia más bajo y aceptados como válidos (Bell: Historia de las matemáticas, 2010).

Todo esto nos lleva hacia el descarte de la idea de que las matemáticas pueden ser operadas por personas sin gran preparación. Pues no es cierto que todo en la vida se rige por reglas empíricas –como cree Mejía-, sino que los cálculos astronómicos y arquitectónicos, tan delicados y peligrosos, tenían que exigir personas dedicadas a la demostración deductiva de reglas de aplicación práctica obtenidas inductivamente, debido al alto riesgo de confiar en aparentes analogías.

El estudio de los astros y las construcciones ciclópeas pétreas exigían la demostración deductiva al margen de que los operarios técnicos no sean hábiles matemáticos. Incluso es posible pensar en la presencia de una trigonometría primitiva en el Perú antiguo, dada la imperiosa necesidad de medición de ángulos en las observaciones estelares y en la ingeniería. Obviamente muy diferente a la moderna trigonometría, que no se desarrolló en respuesta a ninguna necesidad práctica, sino a partir del cálculo y las matemáticas de √-1. En una palabra, para sostener que en el Perú antiguo hubo matemática hay que distinguirlo del cálculo práctico. Y esta diferenciación se dio por la complejidad creciente de la experiencia práctica que exigía un estricto razonamiento deductivo.

Esto nos lleva hacia la necesidad de la abstracción en la deducción matemática. Y esto hay que subrayarlo con énfasis porque hay quienes erróneamente piensan todavía que la lengua quechua no es abstracta y que la civilización andina precolombina no alcanzo las ideas abstractas, universales y generales. La matemática supone la abstracción de la experiencia práctica y ese es su poder y su gloria. El mundo de la Pacha embota los sentidos de todos los seres humanos, y se hace necesaria la simplificación de la abstracción para que haga posible la descripción racional de nuestras experiencias prácticas, que concuerdan perfectamente con la observación. Aun cuando en el mundo mitológico todo está lleno de dioses, ello no es óbice para que la experiencia práctica sea ordenada mediante la abstracción. Simplemente la susodicha abstracción sería asumida en sentido parecido al realismo platónico, o sea los números y las magnitudes se descubren no se inventan.

Por lo menos, la intensa observación estelar por parte de los antiguos peruanos, se testimonia arqueológicamente en los espejos astronómicos de Udima, Chavín, Sacsaywaman, Tiahuanaco, Machu Picchu y demás, esparcidos por toda amerindia, el geoglifo estelar de Las Salinas de Chao, los observatorios astronómicos circulares, la arquitectura calendárica de luz y sombra, los calendarios helio-lunares, etc. Todo lo cual permite deducir con bastante plausibilidad, que en su teología cosmogónica no sólo concibieron la infinitud de espacio, sino también la infinitud del tiempo y la idea de eternidad.

Por lo demás, la misma idea del dios ignoto implica el concepto teológico de la infinitud, de su poder universal vivificante. Pero a su vez la idea de los ciclos cósmicos postula la idea de la infinitud de las eras históricas sucediéndose unas a otras.

Para no explayarnos más en un asunto tan especializado y críptico, nos preguntamos si la estructura del pensamiento andino ligado al concepto de Unidad -como afirma Carlos Milla- no abona, más bien, a favor de un dios monista y una religión monoteísta en vez de dualista y henoteísta. No lo creo. Un sistema operativo geométrico ligado al concepto de Unidad puede dar cuenta del modus operandi divino en la ordenación del mundo-universo, sin necesariamente tener que ser incompatible con la arquetípica dualidad primordial. Dado que dicho modus operandi sería la especial forma de estructuración de la divinidad ordenadora.

El número “pi” nos plantea matemáticamente de modo inevitable el problema del infinito. Además, hay que tener en cuenta que el infinito no sólo es un asunto del pensamiento sino también del sentimiento. Y a nivel del sentimiento, todos los seres humanos experimentan el infinito en el amor.  Ahora bien, una serie sucesiva de números sin términos tuvo que suscitar en los andes precolombinos dicha reflexión en su esquema cosmogónico.

Metafísicamente no hay dificultad para que se le conciba como la representación de la fecundidad infinita del dios ignoto ordenador, pero la idea del infinito repercute no sólo a nivel del macrocosmos, sino también del microcosmos. Porque si bien el infinito del dios ignoto en el arriba lejano del jana pacha es algo actual, positivo y completo, en cambio el infinito es algo negativo, inacabado y potencial en el kay pacha. Lo cual es tanto como decir que la positividad del infinito se refiere a la potencia ordenadora de la deidad ignota, y que la negatividad del infinito está ligada a la dualidad complementaria y paritaria sin término en el mundo universo o Pacha. Esto es como concebir platónicamente dos géneros de infinito: el infinito negativo e indeterminado de la materia y el infinito positivo de lo inteligible, asequible mediante un sentido espiritual ascendente.

O sea, el infinito de la deidad ordenadora es un infinito positivo mientras que el infinito del mundo o de la pacha es un infinito negativo. El infinito de la deidad ordenadora no es el infinito de la pacha ordenada. La primera es un infinito actual y la segunda es un infinito potencial. La deidad ignota o Pachacamac es el motor que engendra el orden o la vivificación por un tiempo cíclico infinito. En otras palabras, no puede negarse el orden vivificador del dios ignoto como causa infinita. La deidad ignota como gran Animador de la realidad animada de la Pacha, hace necesario asumirlo como infinito actual.

Este primado del infinito actual en la teología mítica andina es otra de las poderosas razones por la que el culto al dios Viracocha no era el blanco de los extirpadores de idolatrías, pues en el cristianismo resultaba intolerable el infinito potencial encarnado en los ídolos. Sólo la Persona divina es infinita, todas las criaturas son finitas. La presencia de los ídolos puede hacer pensar en el primado de una teología negativa que declara la inaccesibilidad del dios ignoto dentro de una estructura cósmico-metafísica. E incluso puede hacer pensar en su primado sobre una teología dialéctica de ascenso a la fuente del ordenamiento universal. Pero no es así. Lo infinito, en primer lugar, no es pensado como algo posible sino como algo real. Incluso como algo más real de aquello que existe en el espacio-tiempo o sea en la Pacha. O sea que lo finito piense en lo infinito actual no es un salto racionalmente ilegítimo. Pues la adoración del dios ignoto no se realiza a través de templos, imágenes o sacrificios, sino del corazón (Garcilaso: 1609, Libro II, Cap. II). Es decir, se establece una teología positiva, que se refiere a una comunidad de personas.

Pero si trasponemos a la Pacha la infinitud de la deidad vivificadora, entonces hacemos coincidir –como  Giordano Bruno- lo actual y lo potencial en un mismo ser. La Pacha se vuelve infinita y eterna. Y si la deidad tiene que intervenir en el mundo ha de ser inmanente al mundo. Lo cual quiere decir panteístamente que este mundo tiene ser infinito y divino.

Pienso que esta interpretación panteísta de la teología mítica es falsa y no se corresponde con la realidad religiosa precolombina, tan entregada al culto y al sacrificio. Y más bien sí se corresponde con el infinitismo de la concepción moderna del universo, tanto en el arte (Bach y el arte de la fuga), las matemáticas (indivisibles de Pascal, fluxiones de Newton, cálculo infinitesimal de Leibniz, aritmética de infinitos de Wallis) y en la filosofía (infinito absoluto e infinito concreto).

No obstante, aquí se puede establecer un debate. Los autores que, con espíritu apolíneo, piensan que los precolombinos tuvieron una mentalidad empírica y concreta rechazarán simplemente la idea de infinito: lo real habría sido para los andinos algo finito. La tesis contraria, a la cual me adscribo, sostiene con espíritu dionisíaco, en cambio, que la tesis anterior es falsa y que lo real no fue para los andinos siempre algo limitado y finito, sino también, y sobretodo algo ilimitado e infinito. Incluso no faltará espacio para una tercera postura que defienda un acuerdo entra las dos tesis. Efectivamente, se puede mancomunar la idea que de que mientras se aceptó la idea de infinito para el arte andino, la misma no es admisible para el pensamiento y religión precolombina. También se puede señalar lo inverso: el arte andino desdeñó lo infinito, en tanto que el pensamiento no permaneció refractario a él.

Rodolfo Mondolfo (El infinito en el pensamiento de la antigüedad clásica, 1967) en su estudio del infinito en el seno de la antigüedad clásica ha demostrado los problemas ontológicos implícitos para salvar los fenómenos del mundo lunar y sublunar. Es forzoso pensar que cosa similar acaeciera entre los antiguos andinos.

En otras palabras, me inclino a pensar que la mente andina poseía una capacidad poliédrica esencial que no los hace en absoluto refractarios a la comprensión del infinito. Yo creo encontrar la actitud precolombina predominante ante lo infinito en tres rasgos: 1. El símbolo de la chakana, como representación del tránsito ilimitado e infinito del ánimo vital o Camac de arriba abajo y de abajo arriba; 2. La idea del dios ignoto, cuya naturaleza incomprensible e inefable señalan la impotencia de la razón humana para comprender lo infinito; y 3. La idea de Pacha o mundo universo, que extendiéndose desde el mundo de acá o Kay pacha hasta el mundo del Jana pacha cercano abarca una dimensión infinita.

En la filosofía mitocrática andina habría, entonces, dos aspectos relativos al problema del infinito. Uno corresponde a la importancia de lo infinito se dio desde el principio o fue creciendo en la medida en que se desenvolvía el pensamiento andino. Otro atañe al predominio de un tipo de infinito (actual o potencial) sobre otro.

Nunca sabremos con exactitud cómo afrontaron el dilema, pero las ideas de complementaridad, paridad y relacionalidad permiten pensar en una unidad entre la intemporalidad infinita del janan Pacha allá en el arriba lejano (Robles: Por los caminos del Perú, 2014) y la temporalidad finita del Kay Pacha a nivel macrocósmico, y la unidad entre lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño a nivel del micromundo. Prima la visión holística del infinito.

Lo singular del caso es que si los antiguos peruanos conocieron el número “pi”, como parece que así fue, ello equivale a pensar que conocieron las cantidades infinitamente pequeñas, hoy llamadas infinitesimales; y si pensaron en la actividad vivificadora interminable de la deidad ignota ello equivale a suponer que conocieron las magnitudes infinitamente grandes, hoy llamadas transfinitas. Lo erróneo sería trasponer las tendencias finitistas modernas de “horror al infinito”, propias de Gauss y Kronecker, al mundo mítico precolombino.

Este nominalismo que reduce el infinito a un modo de hablar, y que la contemporaneidad la superó gracias a Cantor, y que acepta el infinito potencial rechazando el infinito actual no es propio del realismo de la antigüedad andina. Dicho realismo involucraba tanto el infinito matemático como el infinito real, es decir, el problema de si el universo es finito o infinito. La Pacha es un orden del ser pareado, en este sentido es finita, aunque no limitada. O sea, el mundo universo o Pacha es potencialmente infinito, pues el único infinito actual es la deidad ignota con la su interminable acción ordenadora.

En síntesis, mientras para unos en la antigüedad andina lo finito y concreto posee un valor superior sobre lo infinito e indeterminado, para otros –como yo- la mente andina antigua es esencialmente poliédrica y su genio no fue refractario a la comprensión de lo infinito. Tanto así, que el concebir una deidad ignota vivificadora señala un significado positivo de lo infinito. Pachacamac o Viracocha es teqse o arjé ordenadora, es decir, causa infinita actual de orden y vida.


Nada más lejos de mí que exagerar el nivel matemático que se alcanzó en la antigüedad andina. Por tanto añado la siguiente reflexión final. Líneas arriba afirmé que el pensamiento andino antiguo permaneció en la edad del empirismo, y con ello su ciencia. Pero a su vez defendía la idea que alcanzó el pensamiento deductivo. Entonces cómo entender esta cuadratura del círculo.

Pienso que así como en Oriente Medio antiguo Babilonia y Egipto fueron la primera y última gran edad del empirismo, lo mismo ocurre con Mesoamérica y Sudamérica con mayas y andinos. En ambas latitudes se sometió al número al servicio de la economía y el comercio; se desarrolló la percepción de la forma con medidas empíricas para fines de ingeniería y astronomía; se hicieron grandes ampliaciones del sistema de números calculables, de modo empírico se abordó el infinito matemático, se creó un símbolo para el cero. Pero no hay evidencia si se usó en mayas e incas el álgebra, como método más poderoso que la aritmética. Efectivamente, el álgebra sin simbolismo y el conocimiento de números negativos, junto al manejo de ecuaciones de tercer grado, fue un gran logro de los babilonios especialmente. Y junto a éstos lo egipcios calcularon el número “pi” muy útil para el trazo de canales y cálculos astronómicos.


En suma, pienso sin temor a equivocarme que el pensamiento antiguo andino tuvo una gran capacidad para el cálculo numérico, fueron extraordinarios calculistas. Pero una cosa es la precisión numérica y otra cosa la precisión matemática. Para lo primero basta el empirismo matemático, mientras que para lo segundo se requiere razonamiento deductivo. Lógica y geometría fue el gran aporte de la lógica griega que comenzó a hacer retroceder al pensamiento mitológico, que era experto en el manejo numérico. Pues bien, yo creo con los incas, especialmente desde el emperador Pachacútec, el razonamiento deductivo hace su aparición. La mayor evidencia de este cambio lo encuentro en la sutil distinción entre el dios ignoto y el dios sol, como manifestación visible del primero. Con esta distinción se abría una brecha en la élite sacerdotal o amautas-filósofos para cuestionar la mitología preinca con razonamiento deductivo. Pero este proceso interrumpido no impide reconocer que el incario es la bisagra que permite la introducción del pensamiento deductivo en medio de la hegemonía del pensamiento mitológico.  


Lima, Salamanca 05  de Setiembre del 2016